劉徽的數學成就在於哪兩個方面？

劉徽(約225年~約295年)，男，漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一。是中國數學史上一個非常偉大的數學家，他的傑作《九章算術注》和《海島算經》，是中國最寶貴的數學遺產。

劉徽的事跡

《九章算術》約成書於東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬於世界先進之列。劉徽在曹魏景初四年注《九章算術注》。

但因解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽則對此均作了補充證明。在這些證明中，顯示了他在眾多方面的創造性貢獻。他是世界上最早提出十進小數概念的人，並用十進小數來表示無理數的立方根。在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則，改進了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了"割圓術"，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.1416的結果。他用割圓術，從直徑為2尺的圓內接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他計算了3072邊形面積並驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周率的科學方法，奠定了此後千餘年來中國圓周率計算在世界上的領先地位。

劉徽在數學上的貢獻極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數”的思想，這方法與後來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計算的必要條件，而且促進了十進小數的產生;線上性方程組解法中，他創造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現今解法基本一致;並在中國數學史上第一次提出了“不定方程問題”;他還建立了等差級數前n項和公式;提出並定義了許多數學概念：如冪(面積);方程(線性方程組);正負數等等.劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提.他的大多數推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把《九章算術》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術》所運用的數學知識，實際上已經形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、並以數學證明為其聯繫紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作。《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、複雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人。

劉徽的成就

劉徽的數學成就大致為兩方面：

一、整理中國古代數學體系並奠定了它的理論基礎，這方面集中體現在《九章算術注》中。它實已形成為一個比較完整的理論體系：

數系理論

①.用數的同類與異類闡述了通分、約分、四則運算，以及繁分數化簡等的運算法則;在開方術的注釋中，他從開方不盡的意義出發，論述了無理方根的存在，並引進了新數，創造了用十進分數無限逼近無理根的方法。

②.在籌式演算理論方面，先給率以比較明確的定義，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立了數與式運算的統一的理論基礎，他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程”，即現代數學中線性方程組的增廣矩陣。

③.在勾股理論方面逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發展了勾股測量術，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。

面積與體積理論

用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原理，並解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計算問題。這些方面的理論價值至今仍閃爍著餘輝。

二、在繼承的基礎上提出了自己的創見。這方面主要體現為以下幾項有代表性的創見：

①.割圓術與圓周率，他在《九章算術?圓田術》注中，用割圓術證明了圓面積的精確公式，並給出了計算圓周率的科學方法。他首先從圓內接六邊形開始割圓，每次邊數倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，又算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率”。

②.劉徽原理 在《九章算術?陽馬術》注中，他在用無限分割的方法解決錐體體積時，提出了關於多面體體積計算的劉徽原理。

“牟合方蓋”說

在《九章算術開立圓術》注中，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性，並引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型。“牟合方蓋”是指正方體的兩個軸互相垂直的內切圓柱體的貫交部分。

方程新術

在《九章算術 方程術》注中，他提出了解線性方程組的新方法，運用了比率算法的思想。

重差術

在自撰《海島算經》中，他提出了重差術，採用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用“類推衍化”的方法，使重差術由兩次測望，發展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望的問題。劉徽的工作，不僅對中國古代數學發展產生了深遠影響，而且在世界數學史上也確立了崇高的歷史地位。鑒於劉徽的巨大貢獻，所以不少書上把他稱作“中國數學史上的牛頓”。