賈憲數學方法有哪一些？

賈憲簡介：

賈憲，北宋人，約於1050年左右完成《黃帝九章算經細草》，原書佚失，但其主要內容被楊輝(約13世紀中)著作所抄錄，因能傳世。

在研究《九章》過程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問題時更為突出，他首先提出了“勾股生變十三圖”。他說：“勾股弦並而為和，減而為較，等而為變，為乘，為段，自乘為積，為冪。”十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股較(b-a)、勾弦較(c-a)、股弦較(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦較和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和較((a+b)-c)、弦較教(c-(b-a))。他完備了勾股弦及其和差的所有關係，說這些關係“有用而取，無用不取，立圖而驗之”，說明他已經拋開《九章》算題本身，並對勾股問題進行抽象分析了。例如“出南北門測邑方”問，《九章》的方法是：術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之為實，並出南門步數為從法，開方除之即邑方。賈憲的方法是：術曰：余勾乘股，倍之為實並二餘勾為從，開方除不。正是掌握了這一方法，才使他能夠使用純數學的方法改寫《九章》術文，給後人留下公式化的解題範例。在方程術等其他章節的細草中，他也廣泛運用了這種方法。

程式化方法主要是指探究問題的思維程式、過程和步驟。適用於同一理論體系下，同一類問題的解決。賈憲的“增乘開方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地體現了這一方法，比如少廣章有：“今有積一百八十六萬八百六十七尺，問：為立方幾何?”這是一道對1860867開三次方的問題。賈憲的方法是：草曰：(1)實上商置第一位得數一百。(2)以上商乘下法置廉一百，乘廉為方一萬，除實，訖。(3)復以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三萬。(4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再於第一位商數之次，復商第二位得數二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三萬六千四百，命上商除實，訖餘一十三萬二千八百六十七。(7)復以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四萬三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退，如前。(10)上商第三位得數三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四萬四千二百八十九，命上商三尺除實，適盡，得立方一面之數。用現代表述方式體現為：下法廉方實商(1)1000000+00-18608671+1000000+10000001000000(2)1000000+1000000+1000000-860867+1000000+2000000(3)1000000+2000000+3000000+1000000(4)1000000+3000000+3000000-8608671000+30000+300000-8608672+2000+64000728000(6)1000+32000+364000-132867+2000+68000(7)1000+34000+432000+2000(8)1000+36000+432000-1328671+360+43200-1328673+3+1089+132867(10)1+363+442890我們注意到這個開立方過程，已經形成了固定的程式。當代學者研究發現，程式化的數學思想方法是中國古代數學的重要特點，而賈憲的工作則使得開方程式系統化、規範化。賈憲的數學方法論，對宋元數學家產生了深遠影響，縱觀“宋元四大家”，莫不從中汲取精髓。